以 RLC 电路来理解 Q-factor


这里以基本的 RLC 电路来回顾一下关于电路中的 Q-factor (品质因数)的一些概念

下图所示为一个简单的 RLC 串联电路

 RLC 串联电路

当电路工作于谐振频率时,电路中的电感的阻抗 ZL 和电容的阻抗 ZC 大小相等,符号相反,因此可以得到具体的谐振频率为:

谐振频率

同时,可以定义 Q 值:

RLC 串联电路品质因数

同样,对于并联 RLC 电路,也有类似的定义:

RLC 并联电路品质因数

一般的,品质因数可以以能量方式来加以定义,即:

品质因数的能量定义

考虑之前的 RLC 电路, 在谐振频率时,电路存储的能量在电感和电容之间交换,且其最大值相等,如下图中所示。

RLC 电路中的电流电压和LC存储的能量

假设电路中的电流为:

RLC 电路电流,

则电容上电压为:

RLC 电路电容电压

此时电感或电容上的最大存储能量为:

RLC 电路存储能量

电阻一周期耗散的能量为:

电阻一周期耗散的能量

将其代入 Q 值的能量方式的定义中,得到的 Q 与前述定义一致,也即:

Q factor

另一种关于 Q-factor 的定义主要是和带宽相关,具体可表述为:

Q 值的带宽表述

其中,ω1 与 ω2 为 -3dB 频率, 如下图所示.

谐振频率和带宽

仍然考虑 RLC 串联电路,等效的导纳

RLC 串联电路导纳

其幅度特性一如上图中所示,且在 ω0 处取得最大值

考虑其分母部分,也即使电路的阻抗

RLC 串联电路阻抗

对 j 乘以

变换因子,

同时考虑

Q-factor

可以得到

变换后的阻抗

可见在 ω0 处, Z=R, 考虑到 ω1 处和 ω2 处导纳 -3dB 的要求,对应阻抗也即

3dB的要求

因此要求:

带宽方程

对 ω 求解并取正值,可以得到

3dB频率-负方向

3dB频率-正方向

可见

3dB带宽

也即是由带宽方式定义 Q 值的关系

此外,在 RLC 串联电路考虑输入电压到电容电压的传递函数:

电容电压的传递函数

也对应标准的二阶传递函数

标准的二阶传递函数


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