温习一下关于信号的卷积和, 卷积积分的知识.

考虑已知 LTI 系统的冲激响应, 若要得到系统对某一输入信号的响应, 可以将此输入信号分解为时移的单位冲激信号(序列)的加权叠加. 根据 LTI 系统的线性和非时变性, 对于这样的输入信号，系统输出等于时移的冲激响应的加权叠加. 这种加权叠加对离散时间系统而言称为卷积和, 而对连续时间系统而言则称为卷积积分.下面具体来加以说明：

首先考虑离散时间系统, 由冲激序列的特性:

其中 n 表示时间序号, 因此 x[n] 代表整个信号, 而 x[k] 代表信号在 k 时刻的取值.

可以看出, 将一个信号乘以时移冲激序列的结果等于一个幅度为时移处信号取值的时移冲激序列. 利用这个特性可以将 x[n] 表示为如下的时移冲激序列的加权和：

上式可重写为:

假设 y[n] 为系统 H 对输入信号 x[n] 的响应，

考虑到线性系统中，算符 H 与求和运算可以交换顺序，

其中 x[k] 对系统算符 H 来说是一个常数项，上式可变为

也即说明系统的输出等于系统对时移冲激响应的加权和.

对于非时变系统，输入信号的时移导致输出信号相同的时移

其中的 h[n]=H{δ[n]} 为系统 H 的冲激响应, 故系统对信号x[n] 的响应也可写为:

也称为x[n] 与 h[n] 的卷积和.

对于连续时间系统，可以分析得到类似的卷积积分：

可以看到在卷积积分中的时间反转实际上是来源于对冲激序列的描述。