最近打算把 PLL 相关的东西清一下，目前主要进展到 Spur 相关的内容，发现具体分析 Reference Spur 的资料都比较少，除了 Dean Banerjee 的书里面在应用层次谈到一些外，基本上就只有李宇根 ( Woogeun Rhee ) 的论文有比较详细的介绍。但是，李宇根在 ISCAS 的论文和他自己的博士论文中关于 Spur 的算式都有差别，因此打算在这里把自己关于这些问题的想法梳理一下.

所谓的 Spur: Any undesirable non-harmonic signal present at the output spectrum

按照 Dean Banerjee 的说法, spur 可分为：

• Reference Spur : Spur的 offset frequency 在 PFD 的参考时钟频率(及其谐波处)
• Non-reference Spur : 其他的 spur, （源自外部环境的干扰或内部的其他问题）
• Fractional Spur : 主要是 Fractional-N PLL 中的 spur

这里主要考虑 Reference Spur 的问题

关于 spur 的基本计算

对 supr 的分析，一般用的是窄带调频的方法，我们考虑 VCO 的控制电压上叠加一个波动 Vm：

由 VCO 的特性，可以得到最大的频率偏移为：

在这里可以定义一个调制因子 ( modulation index ) m :

这样，频率调制的信号可以表示为 m 参量的 Bessel 函数，对于窄带调频, J₀(m)=1, J₁(m)=m/2,  而 J₂(m), J₃(m) ..  近似为零。

故，信号的 Spur  (也即 sideband-to-carrier ratio ) 可以表示为如下：

我们也可以利用类似于引入 phase-noise 时的分析方法来对加深对 spur 的理解。考虑下面的 spurious 信号：

考虑信号幅度不变，且相位的偏移为正弦变化，则上式可以进一步写为：

注意, 上式可以推出 S(t) 的最大频率偏移为 Δf， 因此之前的调制因子* m=Δf/fm

将 m 代换上式，并考虑三角函数的展开，可以得到

考虑 m<<1, 则上式可近似为：

可见在频偏 fm 处的幅度为 m/2， 与之前提到的 bessel 函数表示的 J₁(m) 相同。

*注意, 之前的 S(t) 中实际上调制因子 m 也代表了信号的最大相位偏移，因此可以得到 jitter 和 spur 的量化关系：例如，若已知 peak-peak 的 deterministic jitter 为0.01UI,  则对应的最大相位偏移 m=0.01*0.5*2*Pi， 因此 P_spur=20log(m/2)=-36dBc

PLL 中 reference spur 的计算

PLL 中的 reference spur 来源主要包括：

• Vctrl 节点的漏电 I_leak
• 电荷泵电流 Icp的失配
• PFD 的 timing mismatch

在分析这些非理想性导致的 spur 之前，我们先来考虑当理想的 PLL 中存在相差 φ_ε  时，VCO 输出信号的 spur 的大小

由 PFD 的特性，在存在相差之后，CP 的输出电流为脉宽 Tp 为 (φ_ε /2Pi)*Tref ,  脉冲高度为 Icp， 且周期为 Tref

我们可以考虑之前的分析，将其傅里叶展开为正弦(或余弦)信号，求基频幅度。为方便求其傅里叶级数，可以将电流波形以下图绘出：

显见，此电流信号只有余弦分量，且其基频或一次频率的系数（或幅度）为：

可以容易看出 vco 输出信号的 spur 为：

其中 Z_lpf 为 LPF 在参考频率的阻抗，考虑到 LPF 的零极点位置，我们也可将上式近似的写为：

其中 R 为 LPF 中电阻的大小， fp1 为 LPF 的极点（若为3阶的 LPF 结构，同样类似上面的方法，加上第二个极点的修正即可）

这里，进一步考虑 PLL 系统为过阻尼系统（ over-damped ），可以将其看成单一极点（且极点在原点）的系统，易知其环路带宽为：

，

将其代入上式，有：

此处可以看出：一般性的，通过增大输入参考频率，减小带宽或者应用高阶的 LPF 都可以减小 spur ， 考虑减小分频比亦可改善 spur

现在我们可以通过上面的推导来具体分析漏电和 Icp 失配导致的 Spur

Vctrl 节点的漏电 I_leak  问题

如下图所示，此时可以考虑 PLL 需要一个对应的 CP 的电流脉冲来抵消此漏电流

可以通过使周期内电荷相等来计算 CP 电流脉冲对应的相差 φ_ε ， 即

将 φ_ε  带入之前 Pspur 的公式即可得到关于漏电导致的 Spur 的大小

注意这里可以看出，提高 Icp 的大小，可以改善漏电引起的 spur

电荷泵电流失配导致的 spur

同样我们也可以找出等效的相差 φ_ε  ( T_on 为 UP/DN 同时导通时间 )

将 φ_ε  带入之前 Pspur 的公式即可得到关于 CP 电流失配导致的 Spur 的大小

此处亦可看到，减小 UP/DN 同时导通时间，以及增大 Icp 都可以减小 spur

PFD 的 timing mismatch 导致的 vco 输出的 spur

从上图中我们可以看到，此时电荷泵电流输出由正负两个脉冲组成，净的电荷泵出为零，我们不能再使用之前的方法直接得到等效的相位误差 φ_ε

此时，可以考虑按照之前的方法，求出此电流信号的傅里叶级数

我们可以将电流波形以下图方式绘出以方便计算，同时考虑脉冲幅度为 Icp， 脉冲宽度即是 PFD 的时序失配时间 Δtd， 单周期内正脉冲的上跳沿和负脉冲的下跳沿的间隔时间为 Ton （也即是之前提到的 UP/DN 同时导通时间）

上图，可知信号只有正弦分量，且其基频或一次频率的系数（或幅度）为：

通过计算，并考虑 Ton 和 Δtd 都比较小时，上面可以化简为：

同之前分析，可以看出 vco 输出信号的 spur 为：

代入过阻尼下的环路带宽，也可得到：

显然，除了带宽和分频比的影响外，同样减小 Ton 也有助于减小 spur

上面就是关于 PLL 中 reference spure 的分析，这里的结果与李宇根的博士论文中的差别主要是计算 PFD 的 timing mismatch 导致的 vco 输出的 spur 的算式，论文中的算式中多了一个 1/sqrt(2),  具体原因尚不明.